Сайт посвящен А.Н. Крылову - Памяти Александра Михайловича Ляпунова (1857

Академик В. А. Стеклов дал обзор тридцатипятилетней научной работы А. М. Ляпунова и охарактеризовал ее результаты, стяжавшие Александру Михайловичу всемирную известность как глубокого мыслителя и творца в избранных им для исследования труднейших математических вопросах. Александр Михайлович, прежде чем всецело предаться чисто ученой работе, занимал кафедру механики в Харьковском университете, и в его библиотеке сохранилось собрание литографированных курсов, им читанных. Вот об этих-то курсах, характеризующих профессорскую деятельность Александра Михайловича, и я позволю себе сказать несколько слов.

Первый цикл курсов относится к 1885–1887 гг., когда Александр Михайлович только что начал преподавание как приват-доцент. Этот цикл заключает следующие отделы: кинематика (155 стр.), динамика материальной точки (156 стр.), статика (124 стр.), динамика систем материальных точек (415 стр.), теория притяжения (75 стр.), основная теория деформируемых тел и гидростатика (128 стр.).

Необходимо заметить, что эти лекции написаны довольно крупным почерком и изданы в формате обыкновенной тетради в ¼ листа, так что страница заключает всего 800 букв, т. е. три литографированные страницы соответствуют всего одной печатной странице обычного для математических книг формата в большое in 8°, так что весь курс составил бы книгу несколько менее 20 печатных листов. Посмотрим, однако, какое богатое содержание Александр Михайлович сумел вложить в столь малый объем.

Кинематика. Установив понятие о системе точек, связях и числе степеней свободы, Александр Михайлович прямо переходит к рассмотрению неизменяемой системы, предполагая известными из элементарного курса основные понятия о скорости и ускорении для точки.

Доказав, что число степеней свободы для неизменяемой системы, точки которой не все лежат на одной прямой, есть шесть, Александр Михайлович, приняв за независимые переменные координаты какой-либо точки системы и три эйлеровых угла, выводит формулы для 9 косинусов углов между подвижными и неподвижными осями, после чего переходит к исследованию движения неизменяемой системы. Исходною теоремою ему служит теорема о постоянстве проекции скорости точек, лежащих на прямой, на эту прямую, доказав и пояснив которую примерами, он подробно изучает вращательное движение твердого тела около неподвижной точки, причем строго как геометрически, так и чисто аналитически доказывает основные свойства подвижного и неподвижного аксоидов, поясняя их несколькими примерами. Затем изучается общее движение неизменяемой системы и показывается, как найти центральную ось во всякий момент, причем как пример приводится движение Земли; как частный случай изучаются движение, параллельное плоскости, центроиды и рулеты вообще, после чего, вернувшись к общему случаю, показываются существование и способы определения аксоидов центральных осей, причем попутно поясняются главнейшие свойства развертывающихся и неразвертывающихся линейчатых поверхностей.

Далее следует изучение ускорения точек неизменяемой системы в абсолютном движении, указывается аналогия выражений проекций ускорения на координатные оси с выражениями проекций скоростей и дается понятие о центре ускорений.

Последний отдел кинематики заключает учение об относительном движении, причем сперва рассматривается движение точки по отношению к движущейся системе и выводятся выражения проекций скоростей и ускорений, а затем исследуется движение одной неизменяемой системы по отношению к другой; аналитически выводится правило сложения угловых скоростей, и в заключение получается теорема Шаля о разложении винтового движения на два вращательных.

Непосредственным продолжением «Кинематики» служит «Динамика материальной точки». Содержание этого курса следующее. По установлении основных понятий и формулировке законов инерции и независимости действия сил рассматривается движение свободной материальной точки, сперва прямолинейное, причем приводятся обычные случаи интегрируемости в квадратурах уравнений такого движения, затем криволинейное, причем сперва разбираются случаи, когда траектория есть кривая плоская, и как пример рассматриваются общие свойства движения тяжелой точки в среде, сопротивление которой выражается заданной функцией скорости. Движение под действием центральной силы изучается более подробно как для Ньютонова закона притяжения, так и для притяжения, пропорционального первой степени расстояния. Далее рассматривается движение точки под действием силы, имеющей силовую функцию, причем доказываются свойства так называемой главной функции и связь между полным решением дифференциального уравнения в частных производных, которому она удовлетворяет, с интегралами уравнений движения точки, и для примера по этой методе составляются интегралы уравнений движения точки, притягиваемой к неподвижному центру по какому-либо закону, в зависимости от расстояния. Учение о движении свободной точки заканчивается рассмотрением относительного движения такой точки, причем подробно разобран случай движения тяжелой точки по отношению к земле.

Динамика несвободной материальной точки начинается с установления условий, которым должны удовлетворять скорость и ускорение точки при движении ее по данной поверхности, как удерживающей, так и неудерживающей; составляются выражения реакции поверхности и силы трения и уравнения движения точки для того и другого случая, для поверхности, как постоянной, так и изменяющейся с течением времени. Совершенно так же рассматривается вопрос о движении точки по данной постоянной или переменной кривой с трением и без трения. После вывода условия, при котором существует для несвободного движения точки интеграл живой силы, рассматривается движение тяжелой точки по заданной линии и как пример — математический маятник без сопротивления и при сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости, не ограничиваясь при этом случаем малых колебаний. Затем дается решение задач о таутохроне и брахистохроне, для первой весьма простое, принадлежащее Puiseux, для второй — по общим правилам вариационного исчисления. Как пример движения точки по движущейся линии рассматривается задача о движении точки по вращающейся прямой. В примерах движения точки по поверхности сперва рассматривается случай движения без действия внешних сил и дается понятие о геодезической линии для данной поверхности, затем исследуется движение сферического маятника, маятника Фуко и движение точки по вращающейся плоскости. Курс заканчивается рассмотрением вопроса об ударе точки о поверхность.

Лекции о механике систем точек начинаются с изложения статики. Здесь также предполагается, что учащимися уже пройден элементарный курс, поэтому статика начинается с установления общих условий равновесия твердого тела, после чего рассматриваются веревочные и стержневые многоугольники, подробно разбирается задача о цепной линии и показывается ее аналогия с задачею о движении материальной точки. В заключение излагается начало возможных перемещений, причем дается лагранжево доказательство, существенно, однако, дополненное в том отношении, что показывается не только необходимость, но и достаточность выведенного общего условия равновесия всякой системы, причем связи рассматриваются как удерживающие, так и неудерживающие.

Динамика систем точек начинается с обстоятельного разбора тех условий, которые излагаются удерживающими и неудерживающими связями на скорости и ускорении точек системы; случай неудерживающих связей рассмотрен при этом гораздо подробнее, нежели это обычно делается. Составив уравнения движения всякой системы и объяснив начало Д'Аламбера, Александр Михайлович подробно останавливается на рассмотрении первой лагранжевой формы дифференциальных уравнений движения и доказывает в совершенно общем виде, что эти уравнения, по исключении из них проекций ускорений, пользуясь уравнениями связей, всегда разрешимы относительно лагранжевых множителей. По выяснении понятия об интегралах системы выводятся законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для свободной системы точек как в абсолютном их движении, так и в относительном по отношению к центру инерции. Как пример сперва рассматривается задача двух тел, притягивающихся по закону Ньютона, затем составляются дифференциальные уравнения движения для случая (n+1) точки и находятся их известные 10 интегралов. В заключение отдела о движении свободной системы рассматривается случай системы точек, притягивающихся или отталкивающихся пропорционально расстоянию.

Следующий отдел заключает подробное аналитическое установление необходимых и достаточных условий, при которых для несвободной системы имеют место законы движения центра инерции, площадей и живой силы, после чего дается строгое доказательство Дирихле критерия устойчивости или неустойчивости положения равновесия какой угодно системы и поясняется примером.

Далее излагается начало наименьшего действия и начала Гамильтона, на основании которого выводятся уравнения движения во второй лагранжевой форме и в каноническом виде доказываются свойства символа Пуассона и теорема Якоби.

Следующим отделом служит учение о движении неизменяемой системы. По получении общих выражений живой (Гилы и моментов количества движения для такой системы исследуются свойства моментов инерции, эллипсоида инерции и гирационного эллипсоида, после чего на основании законов движения центра инерции и уравнений моментов составляются дифференциальные уравнения движения твердого тела. Примерами такого движения служат физический маятник, вращение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку, причем дается как геометрическое исследование Пуансо, так и аналитическое при помощи эллиптических функций, пользуясь лишь самыми их элементарными свойствами, тут же доказываемыми.

Последним отделом курса является учение «О действии мгновенных сил», развитое с гораздо большею подробностью и полнотою, нежели это обычно делается. Вопрос вначале поставлен так: дана система точек, подчиненных данным удерживающим связям, требуется определить движение, сообщаемое системе данными импульсами. Вопрос этот решается в первой лагранжевой форме, после чего показывается, как вся совокупность полученных уравнений может быть заменена одним вариационным уравнением. Затем выводятся теоремы Бертрана и Томсона и, в отличие от многих курсов, не оставляются без применений, а, напротив, служат средством для решения ряда примеров общего характера, в которых требуется определить или движение, сообщаемое системе или твердому телу данными импульсами, или наоборот. Вопрос о движении твердого тела рассмотрен особенно подробно, причем выведены общие условия, при которых данное винтовое движение тела может быть сообщено одним импульсом; отсюда как частный случай получается решение вопроса о сообщении данного вращательного движения и о центре удара. По рассмотрении вопроса об ударе двух упругих шаров решается в общем виде задача о так называемом ударе о связь и выводится общее выражение потери живой силы при этом. В заключение решается вопрос, обратный предыдущему, т. е. о внезапном уничтожении одной из связей системы и происходящем при этом увеличении живой силы.

Другие два курса Александра Михайловича — «Теория притяжения» и «Основания теории деформируемых тел и гирдостатики» тесно соприкасаются с его собственными изысканиями в этой области, поэтому при такой же сжатости изложения, как и вышеприведенные, они заключают еще большее число вполне оригинальных, принадлежащих Александру Михайловичу доказательств и выводов теорем, хотя и известных ранее, но доказательства которых Александр Михайлович не считал достаточно строгими, как, например, относительно условий устойчивости равновесия плавающих тел или основных свойств потенциальной функции и начала Дирихле; я не буду утомлять вашего внимания перечнем содержания этих курсов и особенностей их изложения, так как об этом уже упоминал академик В. А. Стеклов.

Из этого общего обзора читанных Александром Михайловичем курсов видно, что он излагал механику как отрасль математики, а не физики, оставляя в стороне указания на прикладную ее часть и на согласие ее выводов, полученных из основных умозрительно установленных начал с наблюдениями и опытами, поэтому безукоризненная строгость доказательства ставилась им как главное требование, и в этом отношении многое принадлежит ему лично и не находится в других курсах или трактатах.

Остается теперь сказать, каким образом Александр Михайлович достигал такой изумительной краткости изложения при полной его ясности и строгости, стремление к которой столь часто ведет к длиннотам и растянутости.

Понятно, что с внутренней стороны здесь проявлялась обширность его познаний, глубина, с которой им продумывались каждое предложение, каждый вывод и доказательство, и та тщательность отделки, к которой он привык во всякой своей работе.

Со стороны внешней уже по самой последовательности статей курса видно, что каждый из главнейших вопросов различных отделов механики ставился им с самого начала в самом общем виде; для поставленного так вопроса давалось прямое и вполне общее решение; таким образом, все отдельные случаи получались как частные из найденного общего решения или служили примерами для пояснения его.

Второю особенностью изложения является отсутствие всякого рода простых промежуточных выкладок, они заменены указанием последовательности необходимых действий или преобразований и того результата, который получится. Может показаться, что при таком изложении чтение курса представит значительные затруднения учащемуся, но это не совсем так благодаря тому, что выкладка не просто скрыта под словами: «после простых преобразований получится» и т. д., которые так часто затрудняют учащегося, а, напротив, весь ход выкладки указан словами и опущено лишь то, что совершается по определенным правилам, учащемуся известным.

Лекции эти, по свидетельству В. А. Стеклова, написаны самим Александром Михайловичем, и можно выразить сожаление, что Александр Михайлович, всецело поглощенный творческой работой, не уделил времени на печатное издание своего курса, которому он, конечно, придал бы высокое совершенство и который составил бы ценнейший вклад в учебную литературу и облегчил бы изучение механики многим поколениям учащихся.